Chronique raisonnable n° 14 ou leçon d’autodéfense intellectuelle du jeudi 9 février 2012

14^ème Leçon d’autodéfense intellectuelle – Jeudi 9 février 2012

14^ème chronique raisonnable, pour :
o     apprendre à soumettre à la critique les informations reçues
·        prévenir les manipulations et
·        démonter les croyances,
« Être libre, c’est ne plus avoir peur et être responsable de sa vie ».

Continuons ensemble l’étude des pièges d’un usage malicieux des mathématiques : apprendre à compter pour ne pas s’en laisser conter. Rappelez-vous l’émission précédente !

Nous avons introduis les notions essentielles aux probabilités et aux statistiques et comment ces questions ont à voir avec une formation à l’autodéfense intellectuelle. Nous sommes partis aux sources historiques de ces branches des mathématiques avec les questions du chevalier de Méré à Blaise Pascal pour l’aider à résoudre ses problèmes de jeux de dés. Nous disions que c’est de leurs réflexions et des échanges avec Pierre de Fermat qu’est née la théorie des probabilités. Nous allons essayer d’apprendre ce que Pascal a trouvé et expliqué à Méré. Nous avons vu que le Chevalier de Méré avait représenté les diverses possibilités de ces deux dés dans un tableau de 6 lignes et 6 colonnes avec dans chacune des 36 intersections une valeur pour ses deux dés. Je ne peux que vous inviter à le dessiner vous-même pour la suite de l’émission.

Aujourd’hui, nous allons parler du vocabulaire et des façons d’écrire propres aux probabilités et aux statistiques.  Voyons donc les éléments de base de la théorie des probabilités.

Si l’on prend l’exemple de notre tableau avec les 36 possibilités, on dit que chaque possibilité a 1 chance sur 36 de survenir. On note souvent les probabilités de cette façon avec une fraction ayant en numérateur (au dessus de la barre de fraction) le nombre de cas favorable et en dénominateur (en dessous de la barre de fraction) le nombre de cas possibles. On dit que la probabilité d’obtenir 1 sur le dé blanc et 1 sur le dé noir est un trente-sixième (1/36^e). La probabilité est toujours comprise entre 0 (l’évènement est impossible et on est certain qu’il ne peut pas survenir) et 1 (l’évènement est certain). Ainsi la probabilité que la somme des deux dés donne 13 est nulle, celle de tirer deux dés dont la somme est comprise entre 2 et 12 est de 1 ou 36/36^e. Chacune des 36 possibilités du tableau a une probabilité de 1/36^e et leur somme donne 1 car 36 fois 1/36^e= 1.

On dit que le fait que l’on ait au lancé un total de trois est un évènement. Si l’on se pose la question de la probabilité de cet évènement, on regarde notre tableau avec tous les cas possibles et l’on constate que la somme de trois peut-être obtenue avec deux résultats : dé noir sur 1 et dé blanc sur 2 ou dé noir sur 2 et dé blanc sur 1. Cela donne deux intersections de notre tableau, soit 2 cas sur les 36 possibles, ou 2 chances sur 36 donc l’évènement tirer au lancé de deux dés un total de trois a une probabilité de 2 sur 36.

Si l’on nomme grand A, l’évènement « le total des deux dés est de trois », sa probabilité sera écrite grand P de grand A, P(A). Et l’on dira P de A égale 2 sur trente-six, P(A) = 2/36.

Le calcul des probabilités va nous permettre de combiner des événements. On peut nommer deux événements grand E et grand F. Leur combinaison est un nouvel évènement. Nous utilisons les combinaisons basiques des événements, connecteurs de bases de la logique formelle ET, OU, NON. On peut chercher à obtenir deux événements, on dira que l’on veut E et F. Ici le et combine les deux événements. On peut aussi chercher à obtenir l’un des deux évènements, on dira que l’on veut E ou F. Ici, le ou combine les deux évènements. On peut aussi chercher à ne pas obtenir l’évènement, on dira que l’on veut non E. Ici, le noncombine l’événement.

Prenons comme exemple que l’événement E soit « le dé blanc donne 1 » et que l’événement F soit « le dé noir donne 1 ». Nous voulons calculer la probabilité d’obtenir 1, avec l’un des deux dés. Si l’on prend le tableau que je vous ai invité à dessiner en début d’émission, nous constatons qu’il y a 6 intersections, ou cases, où l’événement E (dé blanc à 1) se produit et qu’il y a 6 intersections, ou cases, où l’évènement F (dé noir à 1) se produit. Si nous noircissons ces cases, nous pouvons remarquer que nous sommes amener à noircir deux fois une même case, celle où les deux dés donne 1. On devra donc faire attention à ne pas compter deux fois cette case. On dit que les deux évènements ne sont pas mutuellement exclusifs. Le fait d’avoir 1 sur le dé blanc n’empêche pas d’avoir 1 sur le dé noir.

La règle d’addition des probabilités des évènements s’écrit donc ainsi : P de E ou F égale P de E plus P de F moins P de E et F. P(F ou E) = P(E) + P(F) – P(E et F).

Dans notre exemple, nous obtenons 6 sur 36 + 6 sur 36 – 1 sur 36 = 11 sur 36

Si nous avions des évènements exclusifs, la règle d’addition serait simplifiée et s’écrirait : P de E ou F égale P de E plus P de F. P(F ou E) = P(E) + P(F).

Définissons le non événement par la formule P de non E égale un moins – P de E. P(non E) = 1 – P(E).

Si l’on prend l’événement « ne pas tirer le double 1 », sa probabilité est de un moins la probabilité de tirer le double 1. La probabilité de tirer le double 1 est de 1 sur 36 cas possibles, soit un trente-sixième, donc la probabilité de pas tirer le double 1 est de 1 moins 1 sur 36 soit 35 sur 36.

Il nous reste à comprendre la règle qui correspond à la probabilité de la venue de deux évènements, que l’on note P de E et F, P(E et F). Il nous faudra introduire une nouvelle nuance, à savoir si les évènements sont dépendants ou indépendants.

Revenons à notre premier exemple, obtenir un total de 3 avec le lancé des deux dés, sa probabilité est de 2 sur 36. Si au lieu de lancer les deux dés ensemble, on lance d’abord le dé blanc, on observe son résultat et ensuite on lance le dé noir. Si le dé blanc est tombé sur 1, la probabilité d’obtenir un total de 3 est-elle toujours de 2 sur 36 ? Non, bien sûr ! La probabilité dans ce cas a augmenté, elle est de 1 sur 6. Le résultat du premier lancé de dé a une influence sur la probabilité de l’évènement recherché. Si l’on nomme B la probabilité d’avoir 1 sur le dé blanc (le premier lancé), la probabilité de B influe sur la probabilité de A. On parle de probabilité conditionnelle et on la note P de A barre B, P(A|B).

Si deux évènements sont combinés, avec et, et qu’ils sont dépendants dans cette combinaison, alors ont dit que P de A et B égale P de A barre B que multiplie P de B, P(A et B) = P(A|B) x P(B).

Si deux évènements sont combinés, avec et, et sont indépendants dans cette combinaison, alors ont dit que P de A et B égale P de A que multiplie P de B, P(A et B) = P(A) x P(B).

Ces quelques règles ne sont pas faciles à retenir à l’audition mais sont les seules qu’il faut absolument connaître pour pouvoir utiliser les probabilités

Nous disions que la probabilité d’un évènement s’exprime par le rapport entre les cas favorables et l’ensemble des cas possibles.

Lorsque l’on pense que l’ensemble des cas possibles ont la même chance d’advenir, ont dit qu’ils sont équiprobables, on peut donc a priori déterminer la probabilité d’un évènement. C’est le cas avec les dés lorsqu’ils ne sont pas pipés.

Dans les autres situations, c’est l’expérimentation qui permettra de déterminer la probabilité des évènements a posteriori. C’est le cas pour les chances d’arriver en tête d’un cheval aux courses, les événements météorologiques, pour la santé publique comme le risque d’obtenir un cancer en fumant X cigarettes par jour. On obtient des estimations a posteriori, qui sont plus ou moins fiablesen fonction, en particulier, du nombre de cas observés.

Lors de notre prochaine émission, nous continuerons la présentation des probabilités et des statistiques. Nous aborderons les jeux de hasard comme la loterie, le triangle de Pascal et d’autres formules de base de la théorie des probabilités.

Pour finir, ce clin d’oeil de Charb : un homme interpelle une femme et lui dit « Mademoiselle, j’ai calculé que j’avais 9 chances sur10 de coucher avec vous », la femme lui répond « Désolée, j’ai horreur des matheux ». Enfin, n’oubliez pas les conseils des émissions précédentes, ces conseils vous sont donnés pour laisser le moins de prise possible à l’émotion manipulatrice voulue.

Et retrouvez sur le site du cercle libertaire jean-barrué (http://cerclelibertairejb33.free.fr) nos chroniques en référence au « Petit cours d’autodéfense intellectuelle » de Normand Baillargeon.

Alors, à dans quinze jours.